就在格里高利步步緊逼時，艾拉的運算初步得到了結果。
“大師……我沒辦法按你的要求畫出圖形。要讓面積變為兩倍，也就是說新的正方形邊長的乘積為二。由於正方形邊長相等，也就是說這個數自身和自身的乘積為二。我本想計算一下這是一個什麼樣的數字……但我算不出來。”
戈特弗裡德正為格里高利接連不斷的問題發難，艾拉的這句話正好給了他一個岔開話題的機會。他忙不迭地說到：“你是怎麼運算的？”
“我參照了你畫在門口的那個圖形。你利用兩個多邊形夾逼的方法來計算圓的面積，我也就利用了同樣的方法，首先得出這個數介於三分之四和二分之三之間,然後繼續尋找二者之間的分數……但不論我怎麼尋找，我都沒法找出這個數字是什麼。”
艾拉的話也吸引了格里高利的注意。他拋下對亞伯拉罕古教會的追究，在一旁說道：“會不會只是你計算的不夠深入？”
“不，為此我還特地證明了一下，然後發現……這個數根本不可能存在。”
戈特弗裡德的眼中閃過了一道光：“哦？說說你的證明過程。”
“首先，第一個公理，任何一個整數乘於二，都將變為偶數，對吧？”
格里高利在一旁點了點頭：“沒錯,這是不言而明的公理。”
“其次，第二個公理，偶數的平方是偶數，奇數的平方是奇數，也沒錯吧？”
“不言而喻。”
“那麼，我假設這一個數最簡單分數表現形式為a/b，它的平方為2，也就是說（axa）/（bxb）=2，換句話說，2（bxb）=（axa）。根據第一個公理，（axa）將是一個偶數，再根據第二個公理，a也是一個偶數。”
“完全正確。”
“既然a是一個偶數，那麼a必定可以除於2，得到另一個整數，對麼？”
“當然。”
“我們把這個整數用s表示。那麼a就等於2s。代入之前那個公式,就變成了2（bxb）=（2sx2s）=4（sxs），化簡之後就是（bxb）=2（sxs）。根據第一個公理，（bxb）將是一個偶數，再根據第二個公理，b是一個偶數。”
“哦，a和b都為偶數，真是神奇的發現。可這又能說明什麼呢？”
“不要忘了，我們開頭設定著a/b是這個數的最簡分數表示形式！如果a和b都是偶數，那麼他們必能同除於二，那就不再是最簡！可即便我們設定了新的數c、d，讓他們分別為a、b的二分之一，然後把這個數表示為c/d，也能透過上述的方法再次證明c和d都是偶數！如此劃分下去，這一個數將永遠不可能有最簡的分數表示形式！”
艾拉的話就像是往一潭平靜的湖水中投入了一塊巨石，讓格里高利臉上的每一塊肌肉都開始抽動起來。他試著重複了一遍艾拉的證明過程，沒有發現任何問題。可這結論卻讓他無法接受：“你是說，這個數的分子和分母可以無限次地除於二，且保持著自身為整數？這個無限的數……難道是神明的投影麼？”
“所以我無法畫出這個圖形……面積為二的正方形，它的邊長……很奇怪。”
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“不要再嘗試著畫了！”格里高利突然暴躁地喊了起來,“奇怪是正常的，因為我們無法理解無限的神明！就讓它存在於那裡吧,永遠不要去丈量它！”
戈特弗裡德在一旁聽著兩人的爭論,笑了出來。
“你們知道畢達哥拉斯定理麼？”他突然問道。
艾拉和格里高利一起把注意力移到了戈特弗裡德身上：“你是說，直角三角形斜邊的平方等於兩個直角邊的平方之和，對麼？這是畢達哥拉斯最為著名的定理。為什麼要提這個？”
“女孩啊……你在那個邊長為一的正方形上畫一條對角線。這個對角線的長度為多少？”
艾拉想也沒想就畫了下去，可線才畫到一半，她就停了下來，顫聲道：“這根線，它的平方為二？”
“好了，現在，用這根線作為新的正方形的邊長，問題解決了麼？”
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