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【第一題（45分）】
【設n為正整數，a?，a?，…，a_n為實數，滿足∑_{i=1}^n a_i = 0且∑_{i=1}^n a_i2 = 1。證明：對任意實數x，有∑_{i=1}^n (a_i - x)2 ≥ n/(n-1)。】
江辰看完題幹，腦子裡瞬間跳出三種解法。
解法一：直接用柯西不等式+均值不等式，三步搞定。
解法二：轉化成二次函式最值問題，用判別式。
解法三：用拉格朗日乘數法（雖然超綱，但簡潔）。
他選了第一種，提筆就寫。
“由條件∑a_i=0，∑a_i2=1，則∑(a_i-x)2=∑a_i2 - 2x∑a_i + nx2 = 1 + nx2。”
“需證1+nx2 ≥ n/(n-1)，即nx2 ≥ 1/(n-1)。”
“由柯西不等式：(∑a_i2)(∑12) ≥ (∑a_i)2，即n≥0，恆成立。但需另尋不等式……”
“考慮∑(a_i - ā)2 = ∑a_i2 - nā2 = 1，其中ā=0，故∑a_i2=1已給出。”
“實際上，直接由∑(a_i-x)2 = ∑a_i2 - 2x∑a_i + nx2 = 1 + nx2，當x=0時取最小值1，而需證1 ≥ n/(n-1)？不對，當n＞1時1 ＜ n/(n-1)，故需調整思路……”
江辰停筆，重新看題。
哦，看錯了。
不是證∑(a_i-x)2 ≥ n/(n-1)，而是要證∑(a_i-x)2 ≥ n/(n-1)對任意x成立。
那更簡單了。
“設f(x)=∑(a_i-x)2 = nx2 - 2(∑a_i)x + ∑a_i2 = nx2 + 1（因為∑a_i=0）。”
“這是關於x的二次函式，開口向上，最小值為1（當x=0時）。”
“需證f(x) ≥ n/(n-1)對任意x成立，即證最小值1 ≥ n/(n-1)？等等，1 ≥ n/(n-1)當且僅當n≤2……”
江辰皺了皺眉。
這題……有問題？
他仔細再讀一遍題幹。
然後他明白了。
“原來如此，是我理解錯了。條件∑a_i=0，∑a_i2=1，但a_i是實數，可正可負。”
“要證的是∑(a_i-x)2 ≥ n/(n-1)，即nx2 + 1 ≥ n/(n-1)，也就是nx2 ≥ 1/(n-1)。”
“這不是恆成立的，因為x可以取0。所以……題目隱含了x的取值範圍？不對，題目說‘對任意實數x’，那這不等式就不成立。”
江辰陷入沉思。
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