【第三題（45分）】
【設f:?→?是嚴格遞增函式，滿足f(1)=1且對任意正整數n，有f(f(n))=f(n)+n。求f(n)的表示式。】
江辰掃了一眼。
“函式方程題，經典題型。”
他幾乎沒思考，直接寫：
“解：先求前幾項。由f(1)=1，代入n=1得f(f(1))=f(1)+1，即f(1)=1+1=2，矛盾？因為f(1)=1，所以f(f(1))=f(1)=1，右邊f(1)+1=2，1=2矛盾？”
江辰愣住了。
“題目出錯了？”
他重新讀題：“f:?→?是嚴格遞增函式，滿足f(1)=1且對任意正整數n，有f(f(n))=f(n)+n。”
代入n=1：f(f(1))=f(1)+1 → f(1)=1+1=2，但f(1)=1，矛盾。
“這……”
江辰皺眉。
三秒後，他明白了。
“哦，f(1)=1，但f(f(1))=f(1)嗎？不，f(1)=1，所以f(f(1))=f(1)=1，右邊應該是1+1=2，確實矛盾。”
“除非……題目中的?是正整數，但可能包含0？或者f(1)=1是初始條件，但函式方程對n≥2成立？”
他繼續往下想。
“先假設題目沒錯，那麼矛盾說明我的推理有問題。f(f(n))=f(n)+n，當n=1時，f(f(1))=f(1)+1=2，所以f(f(1))=2。”
“而f(1)=1，所以f(1)=1，那麼f(f(1))=f(1)=1，但需要等於2，所以必須f(1)≠1？可題目明確說了f(1)=1。”
江辰感覺腦子有點亂。
“這題……有問題？”
他決定先跳過，看第四題。
【第四題（45分）】
【設p是奇素數，a?，a?，…，a_p是整數。證明：存在整數k（1≤k≤p）使得∑_{i=1}^p (a_{i+k} - a_i)2能被p2整除，這裡下標模p理解（即a_{p+1}=a_1等）。】
江辰看完，眼睛一亮。
“數論組合題，有點意思。”
“∑(a_{i+k}-a_i)2 = ∑a_{i+k}2 - 2∑a_{i+k}a_i + ∑a_i2 = 2∑a_i2 - 2∑a_{i+k}a_i，因為∑a_{i+k}2=∑a_i2。”
“所以要證存在k使2∑a_i2 - 2∑a_{i+k}a_i ≡ 0 d p2，即∑a_i2 ≡ ∑a_{i+k}a_i d p2/2？不對，模p2。”
“即證存在k使∑a_{i+k}a_i ≡ ∑a_i2 d p2。”
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