時珈一低頭看了一眼自己的卷子，心中非常瞭然！
後世控制論中最常見的飽和逼近技巧，把不連續的符號函式用光滑的雙曲正切函式近似。
這個方法在1955年，至少在她所知的範圍，確實還沒有被系統地提出來過。
庫茲涅佐夫，為了你，我付出的實在太多！
她笑了笑，表情鎮定得不像一個剛被西位頂尖數學家同時提問的學生。
因為她是鮑曼的驕傲！她剛經歷了一場徹頭徹尾的洗禮儀式！
“教授，我當時的想法很簡單。”
“符號函式在零點處是不連續的，物理系統裡不存在真正的瞬時跳變。任何控制訊號的切換都需要時間，雖然這個時間可能很短，但理論上它存在一個過渡過程。所以我在想，能不能用一個連續函式來逼近這個不連續的跳變？雙曲正切函式的飽和特性恰好符合這個需求，當輸入足夠大的時候它趨近於正負一，在零點附近光滑過渡。”
蓋爾範德眼睛亮了一下，追問道：“那你怎麼確定這個逼近不會影響最優性？原問題的結論是先加速後減速，你的計算也得出了同樣的結論，但你有沒有想過，在某些邊界條件下，這種光滑逼近可能會丟失最優解？”
時珈一沒有猶豫：“教授，光滑逼近確實可能丟失嚴格意義上的bang-bang控制的最優性，但工程應用中，物理系統的慣性、時滯、非線性等因素本身就會把理想的不連續控制抹平成連續過程。從這個角度說，光滑逼近給出的解，在工程意義上可能比理想解更接近真實情況。至於數學上的最優性，只要逼近足夠精確，極限情況下的誤差可以控制在任意小的範圍內。”
博戈留波夫在旁邊聽了一會兒，忽然插了一句：“你剛才說的這些，是你們鮑曼控制論課程上講過的，還是你自己想的？”
時珈一頓了一下，臉上表現得非常誠實。
“我之前發表了一篇關於閉環控制系統的論文，在實驗的過程中，自己琢磨出來的。而且這篇論文裡面就遇到了類似的問題，理想的開關控制會導致系統振盪，必須用連續訊號來逼近才能穩定執行。”
這話說的半真半假，反正她論文都做完了，數學資料都是自己經手的。
柯爾莫哥洛夫一首沒有說話，只是在旁邊靜靜地聽。
等蓋爾範德問完了，他才慢慢開口，一齣聲所有人都安靜了下來。
“時珈一同學，你提到的這個光滑逼近方法，有沒有考慮過用在機率論的問題上？”
“比如說，處理帶有機率約束的最優控制問題。特徵函式是不連續的，用雙曲正切函式去逼近它，可以大幅簡化計算。你覺得這個方向可行嗎？”
時珈一：“........”
不愧是數學家，柯爾莫哥洛夫問的這個問題，在後世己經是很成熟的方向，平滑逼近在隨機控制中的應用非常廣泛。
但在這個年代，這個想法還很超前。
“院士，我不太懂機率論，但從工程的角度說，任何不連續的約束條件都可以用光滑函式來近似。特徵函式本質上是一個指示函式，用雙曲正切去逼近它，應該能把非光滑的最佳化問題轉化成光滑的，這樣就可以用梯度法來求解了。”
她斟酌了一下措辭：“至於具體怎麼用、適用範圍有多大，我還沒有深入研究過。但我覺得這個方向是可行的。”
柯爾莫哥洛夫聽完，嘴角揚起。
任何一個公式的出現，都需要經過瘋狂的測算，但時珈一這個平滑逼近法，卻不是公式，只是用了以前的函式來構造一個平滑的近似函式，去掉它的固定性。
簡單而言，就是把複雜的問題簡單化了。也是機率中的約束最佳化。
龐特里亞金一首沒說話。等柯爾莫哥洛夫問完了，他才慢悠悠地開口。
